ルジャンドル多項式の直交性 9/8

まず、次を確認しておく。

$\large Q_{n}=\int_{-1}^{1}(x^2-1)^n~dx=2(-1)^n\frac{(2^n~n!)^2}{(2n+1)!}$

$\large Q_{n+1}=\int_{-1}^{1}x^2(x^2-1)^n~dx-Q_{n}$

部分積分を行って、

$\large =x\frac{1}{2n+2}(x^2-1)^{n+1}|\nolimits_{-1}^{1}-\int_{-1}^{1}\frac{1}{2n+2}(x^2-1)^{n+1}dx-Q_{n}$
$\large =-\frac{1}{2n+2}Q_{n+1}-Q_{n}$

$\large Q_{n+1}=-\frac{2n+2}{2n+3}Q_{n}$

あとは帰納的に。

さて、本題。

$\large \int_{-1}^{1}P_{n}(x)P_{n}(x)dx$
$\large =\int_{-1}^{1}\frac{1}{(2^n~n!)^2}(\frac{d}{dx})^n(x^2-1)^n(\frac{d}{dx})^n(x^2-1)^n~dx$

部分積分をn回繰り返して、

$\large =\int_{-1}^{1}\frac{(-1)^n(2n)!}{(2^n~n!)^2}(x^2-1)^ndx=\frac{2}{2n+1}$