ルジャンドル多項式の具体的表示

昔作った64ビット整数を用いた多項式の計算を行うライブラリを使って、ルジャンドル多項式を計算してみよう。

単純に、
n乗してn回微分して割り算して、
だとすぐにオーバーフローして、13次までのルジャンドル多項式しか出てこない。

ちょっと工夫して、
1回微分しては2とi(1〜n)で割る、
だと28次まで求まる。

もう一工夫して、
1回微分しては2とi(n〜1)で割る、
だと31次まで求まる。

しかし、これはプログラミングは簡単で（ライブラリがあるから）、わずか17行で組めるけど、
本当は直接係数を計算したほうがいいような気がする。
昨日の表記は、関数の直交性、すなわち、

$\Large \int_{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)dx=\frac{1}{2n+1}\delta_{mn}$

の確認しやすさのためにあるのだろう。
もっとも、m=nのときは計算が結構難しくて、1時間くらいかかった。

http://d.hatena.ne.jp/inamori/20050900/1126183443

脱線したが、
係数を直接表記するのは簡単で、

$\large P_{n}(x)=\frac{1}{(2^nn!)^2}(\frac{d}{dx})^n\sum_{k=0}^{n}(\begin{array}{GC+15}n\\k\end{array})x^{2k}(-1)^{n-k}$
$\large =\sum_{k=\big[ \frac{n+1}{2} \big] }^{n}\frac{(-1)^{n-k}(2k)!}{2^n(2k-n)!k!(n-k)!}x^{2k-n}$

これ、あってんのかな？
続きは明日できたら。