相加平均と相乗平均の極限

相加平均と相乗平均を次々に取っていくと、
当然だがある値に収束する（大学の入試問題になりそう）。
なんか面白いね、これ。
でも数学的には難しいらしい。

a₀とb₀を与えて、

$\large a_{n+1}=\frac{a_{n}+b_{n}}{2}$
$\large b_{n+1}=\sqrt{a_{n}b_{n}}$

とすると、
a_nとb_nは同じ値に収束する。
これをM(a₀, b₀)と書くらしい。

$\large a_{0}=1$
$\large b_{0}=\sqrt{2}$

とすると、

a₀ = 1
b₀ = 1.4142135623730950488016887242
a₁ = 1.2071067811865475244008443621
b₁ = 1.1892071150027210667174999705
a₂ = 1.1981569480946342955591721663
b₂ = 1.1981235214931201226065855718
a₃ = 1.1981402347938772090828788690
b₃ = 1.1981402346773072057983837881
a₄ = 1.1981402347355922074406313286
b₄ = 1.1981402347355922074392136559
a₅ = 1.1981402347355922074399224922
b₅ = 1.1981402347355922074399224922

というわけで、

$\large M(1,\sqrt{2})=1.1981402347355922074399224922...$