コインゲーム(6)

 f(x) = (1-p)^NF(x)^N

と書くと、
確認したい確率の総和は、

 \sum_{k}{P(X=2k+N)} = f(q)

と書ける。

 F(q) = \frac{1-\sqrt{1-4q}}{2q}
 = \frac{1-\sqrt{1-4p+4p^2}}{2q}
 = \frac{1-|1-2p|}{2q}

ここで、2p = r < 1 だから、
(そうでないと、どんどんコインがたまっていってしまう)

 F(q) = \frac{1-(1-2p)}{2p(1-p)} = \frac{1}{1-p}
 f(q) = (1-p)^NF(q)^N = 1

ちゃんちゃん。


次は、コインがなくなるまでの平均回数。

E(X) = N + 2qf'(q) = N(1 + 2F'(q)p(1 - p)^2)

と書ける。

xF2 - F + 1 = 0

微分して、

 F^2 + 2xFF' - F' = 0
 F'(q) = \frac{F(q)^2}{1-2qF(q)} = \frac{1}{(1-p)^2(1-r)}
 E(X) = N(1+\frac{2p}{1-r}) = \frac{N}{1-r}

と、m = 1 のときと同じ結果になった。


この項、つづく。