コインゲーム(7)

m=2のときの分散を求める。
求めるのは、

 \sigma^2 = <X^2> - <X>^2

少し変形して、

 \sigma^2 = <(N+2k)^2> - <X>^2 = N^2 + 4<k^2+Nk> - \frac{N^2}{(1-r)^2}
 = 4<k^2+Nk> - 4N^2\frac{p(1-p)}{(1-r)^2}
 = 4(<k^2-k> + (N+1)<k> - N^2\frac{p(1-p)}{(1-r)^2})
 = 4(q^2{f''}(q) + (N+1)qf'(q) - N^2\frac{p(1-p)}{(1-r)^2})

ここで、

 f = (1-p)^NF^N

だったから、

 f' = N(1-p)^N{F'}F^{N-1}
 qf'(q) = Np(1-p)^2F'(q) = \frac{Np}{1-r}

また、

 {f''} = N(1-p)^N({F''}F^{N-1} + (N-1)F'^2F^{N-2})
 q^2{f''(q)} = Np^2({F''(q)}(1-p)^{3}+(N-1)\frac{1}{(1-r)^2})

また、

 F^2 + 2xFF' - F' = 0
 4FF' + 2x(F'^2 + {FF''}) - {F''} = 0
 \frac{4}{(1-p)^3(1-r)} + 2q(\frac{1}{(1-p)^4(1-r)^2} + {F''(q)}\frac{1}{1-p}) = {F''(q)}
 \frac{4-6p}{(1-p)^3(1-r)^2}=(1-r){F''(q)}
 (1-p)^3{F''(q)} = \frac{4-6p}{(1-r)^3}

より、

 q^2{f''(q)} = \frac{3p^2-4p^3}{(1-r)^3}N+\frac{p^2}{(1-r)^2}N^2

これらから、

 \sigma^2 = 4(\frac{3p^2-4p^3}{(1-r)^3}N+\frac{p^2}{(1-r)^2}N^2 + \frac{p(1-r)^2}{(1-r)^3}(N^2+N)
 - \frac{p-p^2}{(1-r)^2}N^2)= 4\frac{p-p^2}{(1-r)^3}N
 \sigma^2 = \frac{4p(1-p)}{(1-r)^3}N

やっとできた。
m=1のときより4倍以上、
r=0.8なら12倍か。


この項、つづく。