正規分布の近似（5） - inamori’s diary

$x = a(r - \frac{1}{2})^3 + b(r - \frac{1}{2})$

という一様乱数からの変換を考える。

$x = g(s) = as^3 + bs$
$s = r - \frac{1}{2}$

としたほうが考えやすいだろう。

この逆関数を考えると、
これを求めるには三次方程式を解けばいいが、
解の公式で解いてもどの解を選べばいいか分からないだろうし、
解けても積分ができないだろう。
直接はこの逆関数を考えない。

$r = g^{-1}(x) = \int_{-\infty}^x{p(t)dt$

だから、

$p(x) = \frac{d}{dx}g^{-1}(x) = \frac{1}{g'(g^{-1}(x))}$

満たすべき式は、
まず分布の範囲が、
[-c, c] (c = g(1/2))
より、

$c = \frac{1}{8}a + \frac{1}{2}b$

p(x)のピーク値をN回振って標準正規分布と同じになるとすると、

$p(0) = \frac{1}{g'(g^{-1}(0))} = \frac{1}{g'(0)} = \sqrt{\frac{N}{2\pi}}$

より、

$b = \sqrt{\frac{2\pi}{N}}$

あと、これは絶対満たさなければならない。

$\sigma^2 = \int_{-c}^c{x^2p(x)dx} = \frac{1}{N}$

a -> a/sqrt(N), b -> b/sqrt(N), c -> c/sqrt(N)
と置き換えると、

$c = \frac{1}{8}a + \frac{1}{2}b$
$b = \sqrt{2\pi}$
$\sigma^2 = \int_{-c}^c{x^2p(x)dx} = 1$

となる。
これを数値的に解けばよい。