正規分布の近似（6） - inamori’s diary

$p(x) = \frac{1}{g'(g^{-1}(x))}$
$\sigma^2 = \int_{-c}^c{x^2p(x)dx} = 1$

これを数値的に解くということだったが、
今朝向こうの駅を降りて走っていたら気がついた。
x = g(s)と変換すると、

$\sigma^2 = \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}{g(s)^2\frac{1}{g'(s)}{g'(s)}ds}$
$\sigma^2 = \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}{g(s)^2ds}$

なんだ、逆関数を陽に求める必要はなかったのか。
頭悪いな。

これを実際に計算すると、

$\sigma^2 = \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}{(as^3+b)^2ds}$
$\text{ } = 2(\frac{a^2}{896}+\frac{ab}{80}+\frac{b^2}{24})=1$

これと、

$b = \sqrt{2\pi}$

から、

$a = \frac{-84\sqrt{2\pi}+\sqrt{-2688\pi+100800}}{15} = 6.222902386$

数値的に求めたときとまったく同じだ。

これを5回振った合計を1億回まわして分布を見てみると、

前回のよりいいけど。
やはり裾で0になっていたほうがいいのか？
速くはなった。