三角形の数(1)

辺の長さが整数で、総和が決まっている三角形を数える。
ただし、反転してはじめて同じになるものは別の三角形と考える。
たとえば、総和が5のとき、
(3, 1, 1), (2, 2, 1)
が挙げられる。


5点を円周上に並べる。
そのうち3点を選んで結ぶと、三角形ができる。
その選び方は10通りだが、
回転しても同じ三角形が5つあるので、
10/5=2種類の三角形がある。


辺の総和が6の場合は、
3点の選び方が20通りあるが、
正三角形の選び方が2通りあるので、
三角形の種類は、
(20-2)/6+1=4種類。


まとめると、
辺の総和をnとすると、
nが3の倍数でないとき、

\frac{_nC_3}{n} = \frac{n^2-3n+2}{6}

nが3の倍数であるとき、

\frac{_nC_3-\frac{n}{3}}{n}+1 = \frac{n^2-3n+6}{6}