三角形の数（2） - inamori’s diary

ふつうに数えてみる。
nが3の倍数のときを考える。
n = 3mとする。
長辺の長さをlとする。
たとえば、n=9のとき、
l=5〜7なら、残りの辺は(1, 8-l), ..., (8-l, 1)（重複あり）
l=4なら、残りの辺は、(1, 4), (2, 3)
l=3なら、(3, 3)

l < n/3なら解なし。

n/2 <= l < n-2なら、
残りの辺は
(1, n-l-1), ..., (n-l-1)（重複あり）
重複なしなら、[(n-l)/2]組。
たし合わせると、

$S_1 = \sum_{l=\frac{n+1}{2}}^{n-2}{[\frac{n-l}{2}]}$

k = n - lと変換して、
a = [n/2]とおいて、

$S_1 = \sum_{k=2}^a{[\frac{k}{2}]}$

aが奇数なら、
S₁ = 1 + 1 + ... + (a-1)/2 + (a-1)/2
= (a-1)/2 * (a+1)/2

aが偶数なら、
S₁ = 1 + 1 + ... + (a-2)/2 + (a-2)/2 + a/2
= (a-2)/2 * a/2 + a/2 = a/2 * a/2

あわせて、

$S_1 = [\frac{a}{2}][\frac{a+1}{2}]$

n/3 <= l < n/2なら、
残りの辺がlを超えてはいけないから、組み合わせは、
(l, n - 2l), ... , (n - 2l, l)
の3l-n+1組だが、重複があるので、
[(3l-n)/2]+1組。
だから、足し合わせると、

$S_2 = \sum_{l=m}^{[\frac{n-1}{2}]}{([\frac{3l-n}{2}]+1)}$

k = l - mと変換して、
b = [(n-1)/2]-mとおいて、

$S_2 = \sum_{k=0}^b{([\frac{3k}{2}]+1)}$

b が偶数のとき、

$S_2 = \frac{3b^2 + 6b + 3}{4}$

b が奇数のとき、

$S_2 = \frac{3b^2 + 6b + 4}{4}$

三角形の合計は、S₁ + S₂だが、
このなかで、3辺とも長さの違う三角形は裏表2つある。
2辺が同じ三角形は、

$S_3 = [\frac{n-1}{2}]$

合計は、
S = 2(S₁ + S₂ - S₃) + S₃ = 2S₁ + 2S₂ - S₃

ここからは、さらに場合わけが必要となる。
本当は日曜の午前中に計算が終わっていたのだが、
HTMLにすると大変。
ここでいったんアップする。