分散も同じように求めることを考えよう。
事象iがpiで起こるとして、
その事象が起こったときの平均と分散が、
mi, σi2だとしたときに、
全体での平均と分散を考える。
ni : 事象iの全体の個数
とすると、全体では、
だから、平均は、
分散を同様に考える。
だから、分散は、
この公式を使って、期待値のときと同様の漸化式を求める。
S(i) = σi2
と書くとして、
S(n) = P(n, 1)(S(1) + (E(1) + 1 - E(n))^2) + ... + P(n, n)((S(n) + (E(n) + 1 - E(n) )^2)
これより、
これを計算すると、
σ(2) = 0.8660254037844386
σ(3) = 1.2990381056766584
σ(4) = 1.8308579454251856
σ(5) = 2.6328381520127446
σ(6) = 3.8706249025269197
σ(7) = 5.759323772999618
σ(8) = 8.613168566749337
σ(9) = 12.903785276092351
σ(10) = 19.340728828546225
σ(11) = 28.990262763821157
σ(12) = 43.45318483443226
σ(13) = 65.13163688101633
σ(14) = 97.62943992543727
σ(15) = 146.35269094654006