すごろく（3） - inamori’s diary

p_nが収束する値を求める。

まず、
p₁ = 1 / 6
p₂ = 1 / 6 + 1 / 36 = 7 / 36
nが6以下のとき、
p_n = p_n-1 + p_n-1 / 6 = 7 / 6 * p_n-1
だから、

$p_n = \frac{1}{6} \left( \frac{7}{6} \right) ^{n-1}$

nが6より大きいとき、

$p_n = \frac{1}{6}(p_{n-6} + \cdots + p_{n-1})$

より、

$6p_n + 5p_{n-1} + \cdots + p_{n-5} = 6p_{n-1} + \cdots + p_{n-6}$

再帰的に、

$6p_n + 5p_{n-1} + \cdots + p_{n-5} = 6p_6 + \cdots + p_1$

が成り立つ。
右辺を具体的に計算すると6になるから、

$6p_n + 5p_{n-1} + \cdots + p_{n-5} = 6$

p_n は p に収束すると仮定すると、
21p = 6
で、

$\lim_{n \to \infty} p_n = \frac{2}{7}$

となる。