すごろく（8） - inamori’s diary

本当に、進むマス数の平均の逆数に、
そのマスに止まる確率が収束するのだろうか。

一度にnマス進む確率をq_nとする。
一度に進める最大のマス数をNとすると、
q₁ + ... + q_N = 1
m = q₁ + ... + Nq_N

nマス目に止まる確率は、

$p_n = q_1p_{n-1} + \cdots + q_Np_{n-N}$

ここで、p_n = 0 (n < 0)
これより、

$a_n = p_n + (1 - q_1)p_{n-1} + (1 - q_1 - q_2)p_{n-2} + \cdots + q_Np_{n-N+1}$

とおくと、

$a_n = \cdots = a_0 = p_0 = 1$
$a_n \to p + (1 - q_1)p + (1 - q_1 - q_2)p + \cdots + q_Np$
$\qquad = p\sum_{k=1}^N{\sum_{l=k}^N{q_l}} = p\sum_{l=1}^N{q_l\sum_{k=1}^l = p\sum_{l=1}^N{lq_l} = pm$

より、

$p = \frac{1}{m}$

となり、確率は1回に進むマスの平均の逆数に収束する。