複素数（9） - inamori’s diary

純虚数の場合

引数が純虚数だと速くなる可能性があるので、
それ用にも書いてみる。

$e^{iy} = \cos{iy} + i\sin{iy}$
$\cos{(iy)} = \frac{e^{-y} + e^y}{2}$
$\sin{(iy)} = \frac{e^{-y} - e^y}{2i}$
$\tan{(iy)} = \frac{1}{i}\frac{e^{-y} - e^y}{e^{-y} + e^y} = i\frac{e^{2y} - 1}{e^{2y} + 1}$

ここまでは一価だからやさしい。

log

$\log{iy} = \log{y} + \log{i}$

虚部は[-π, π]だから、

$\log{iy} = \log{y} + \frac{\pi}{2}i$

sqrt

$\sqrt{iy} = \sqrt{(\pm{i})(\pm{y})} = \sqrt{\pm y}e^{\pm\frac{\pi}{4}i} = (1 \pm i)\sqrt{\frac{\pm y}{2}}$

符号はyの正負による。

acos

$\mbox{acos}{(iy)} = \mp i(\log(iy + i\sqrt{y^2 + 1})) = \mp i(\log(y + \sqrt{y^2 + 1}) + \frac{\pi}{2}i)$

実部が[0, π]だから、-を取る。

$\mbox{acos}{(iy)} = \frac{\pi}{2} - i\log{(y + \sqrt{y^2 + 1})}$

asin

$\mbox{asin}{(iy)} = -i\log{(-y + \pm\sqrt{y^2 + 1})}$

実部が[-π/2, π/2]だから、
-を取ると、logの中が負で、(2n + 1)πiの項が出てきて、
範囲に収まらない。
+を取ると、logの中が正となり、実部は常に0。

$\mbox{asin}{(iy)} = -i\log{(-y + sqrt{y^2 + 1})}$

atan

$\mbox{atan}{(iy)} = \frac{1}{2}\log{\frac{1 + y}{1 - y}}$

powはメリットなさそうなので、パス。



import std.cstream;

import std.math;
void main(char[][] args) {

    dout.writefln(exp(0.1i));

    dout.writefln(cos(0.1i));

    dout.writefln(sin(0.1i));

    dout.writefln(tan(0.1i));

    dout.writefln(log(1.1i));

    dout.writefln(sqrt(-1i));

    dout.writefln(acos(0.1i));

    dout.writefln(asin(0.1i));

    dout.writefln(atan(0.1i));

}
cdouble exp(idouble z) {

    auto    y = z.im;

    return std.math.cos(y) + 1i * std.math.sin(y);

}
cdouble cos(idouble z) {

    auto    e = std.math.exp(z.im);

    return (e + 1 / e) / 2 + 0i;

}
cdouble sin(idouble z) {

    auto    e = std.math.exp(z.im);

    return 0.5i * (e - 1 / e) + 0;

}
cdouble tan(idouble z) {

    auto    e2 = std.math.exp(z.im * 2);

    return 1i * (e2 - 1) / (e2 + 1) + 0;

}
cdouble log(idouble z) {

    return std.math.log(z.im) + std.math.PI * 0.5i;

}
cdouble sqrt(idouble z) {

    auto    y = z.im;

    if(y >= 0)

        return (1 + 1i) * std.math.sqrt(y / 2);

    else

        return (1 - 1i) * std.math.sqrt(-y / 2);

}
cdouble acos(idouble z) {

    auto    y = z.im;

    return std.math.PI / 2

         - 1i * std.math.log(y + std.math.sqrt(y * y + 1));

}
cdouble asin(idouble z) {

    auto    y = z.im;

    return 1i * std.math.log(y

            + std.math.sqrt(y * y + 1)) + 0;

}
cdouble atan(idouble z) {

    auto    y = z.im;

    return 0.5 * log((1 + y) / (1 - y) + 0i);

}
cdouble log(cdouble z) {

    double  x = z.re;

    double  y = z.im;

    return std.math.log(x * x + y * y) / 2

                        + 1i * atan2(y, x);

}
cdouble sqrt(cdouble z) {

    double  x = z.re;

    double  y = z.im;

    double  theta = atan2(y, x) / 2;

    return std.math.sqrt(abs(z))

        * (std.math.cos(theta) + 1i * std.math.sin(theta));

}