何回コインを投げれば連続10回表が出るんだろう（3）

もう一度数学的に考えてみよう。

p(m,n) = 2^-n-1(1 - p(n,n) - ... - p(m-n-1,n))

がm > 2nで成り立つ。
確率の総和が1であるから、

p(m,n) = 2^-n-1(p(m-n,n) + ...)

これをすべて並べて、

p(2n+1,n) = 2^-n-1(p(n+1,n) + p(n+2,n) + ...)
p(2n+2,n) = 2^-n-1(p(n+2,n) + p(n+3,n) + ...)
...

すべて足し合わせると、
左辺は、

p(2n+1,n) + p(2n+2,n) + ... = 1 - (p(n,n) + ... + p(2n,n))
= 1 - (2^-n + 2^-n-1 + ... + 2^-n-1)
= 1 - (n + 2)2^-n-1

右辺は、

2^-n-1(p(n+1,n) + 2p(n+2,n) + 3p(n+3,n) + ...)

ここで、求めたい期待値E(n)とすると、

E(n) = np(n,n) + (n + 1)p(n+1,n) + (n + 2)p(n+2,n) + ...

これより、

2^-n-1(E(n) - n(p(n,n) + p(n+1,n) + ...))
= 2^-n-1(E(n) - n)

両辺から、

E(n) = 2ⁿ⁺¹ - 2

で、E(10) = 2046となる。