確率の問題

今年の東大の問題でこんなのがあったそうだ。

http://blog.livedoor.jp/seven_triton/archives/51364482.html

区間 0<x<1 からランダムに数を一つ選ぶという試行を繰り返し,n回目に選んだ数を a[n] とする。
このとき,a[1] + a[2] + … + a[n] が初めて1を超えるようなnの期待値を求めよ。

n回選んでたしあわせた数の確率密度をPn(x)とすると、

 P_1(x) = 1 (0 < x < 1)
 P_{n+1}(x) = \int_0^x{P_n(t)P_1(x-t)dt} = \int_0^x{P_n(t)dt} ( 0 < x < 1)

結局、積分するだけで、

 P_{n}(x) = \frac{1}{(n-1)!}x^{n-1} ( 0 < x < 1)

1を超えている確率は、

 q_n = 1 - \int_0^1{P_{n}(x)dx} = 1 - \frac{1}{n!}

n回目ではじめて1を超える確率pnは、

 p_1 = 0
 p_n = q_n - q_{n-1} = \frac{1}{(n-1)!} - \frac{1}{n!} (n \ge 2)

この問題は「1を超える」だから簡単だが、
もっと大きいと、この辺の話になって大変。


http://d.hatena.ne.jp/inamori/20061014/p1