ルジャンドル多項式の具体的表示(2)

$\Large P_{n}(x)=\sum_{k}a_{nk}x^{2k-n}$

と書くと、

$\Large a_{nn}=\frac{3}{2}\frac{5}{3}...\frac{2n-1}{n}$
$\Large a_{nk-1}=-\frac{(2k-n)(2k-n-1)k}{2k(2k-1)(n-k+1)}a_{nk}$

これで計算すると、やっぱり31次までしかルジャンドル多項式の係数が出なかった。
なんだ、苦労したのに。
これを元に多項式をmimeTeXで表示するプログラムを書くと、

$P_{1}(x)=x$
$P_{2}(x)=-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}x^{2}$
$P_{3}(x)=-\frac{3}{2}x+\frac{5}{2}x^{3}$
$P_{4}(x)=\frac{3}{8}-\frac{15}{4}x^{2}+\frac{35}{8}x^{4}$
$P_{5}(x)=\frac{15}{8}x-\frac{35}{4}x^{3}+\frac{63}{8}x^{5}$
$P_{6}(x)=-\frac{5}{16}+\frac{105}{16}x^{2}-\frac{315}{16}x^{4}+\frac{231}{16}x^{6}$
$P_{7}(x)=-\frac{35}{16}x+\frac{315}{16}x^{3}-\frac{693}{16}x^{5}+\frac{429}{16}x^{7}$
$P_{8}(x)=\frac{35}{128}-\frac{315}{32}x^{2}+\frac{3465}{64}x^{4}-\frac{3003}{32}x^{6}+\frac{6435}{128}x^{8}$
$P_{9}(x)=\frac{315}{128}x-\frac{1155}{32}x^{3}+\frac{9009}{64}x^{5}-\frac{6435}{32}x^{7}+\frac{12155}{128}x^{9}$
$P_{10}(x)=-\frac{63}{256}+\frac{3465}{256}x^{2}-\frac{15015}{128}x^{4}+\frac{45045}{128}x^{6}-\frac{109395}{256}x^{8}+\frac{46189}{256}x^{10}$
$P_{11}(x)=-\frac{693}{256}x+\frac{15015}{256}x^{3}-\frac{45045}{128}x^{5}+\frac{109395}{128}x^{7}-\frac{230945}{256}x^{9}+\frac{88179}{256}x^{11}$
$P_{12}(x)=\frac{231}{1024}-\frac{9009}{512}x^{2}+\frac{225225}{1024}x^{4}-\frac{255255}{256}x^{6}+\frac{2078505}{1024}x^{8}-\frac{969969}{512}x^{10}+\frac{676039}{1024}x^{12}$
$P_{13}(x)=\frac{3003}{1024}x-\frac{45045}{512}x^{3}+\frac{765765}{1024}x^{5}-\frac{692835}{256}x^{7}+\frac{4849845}{1024}x^{9}-\frac{2028117}{512}x^{11}+\frac{1300075}{1024}x^{13}$
$P_{14}(x)=-\frac{429}{2048}+\frac{45045}{2048}x^{2}-\frac{765765}{2048}x^{4}+\frac{4849845}{2048}x^{6}-\frac{14549535}{2048}x^{8}+\frac{22309287}{2048}x^{10}-\frac{16900975}{2048}x^{12}+\frac{5014575}{2048}x^{14}$
$P_{15}(x)=-\frac{6435}{2048}x+\frac{255255}{2048}x^{3}-\frac{2909907}{2048}x^{5}+\frac{14549535}{2048}x^{7}-\frac{37182145}{2048}x^{9}+\frac{50702925}{2048}x^{11}-\frac{35102025}{2048}x^{13}+\frac{9694845}{2048}x^{15}$
$P_{16}(x)=\frac{6435}{32768}-\frac{109395}{4096}x^{2}+\frac{4849845}{8192}x^{4}-\frac{20369349}{4096}x^{6}+\frac{334639305}{16384}x^{8}-\frac{185910725}{4096}x^{10}+\frac{456326325}{8192}x^{12}-\frac{145422675}{4096}x^{14}+\frac{300540195}{32768}x^{16}$
$P_{17}(x)=\frac{109395}{32768}x-\frac{692835}{4096}x^{3}+\frac{20369349}{8192}x^{5}-\frac{66927861}{4096}x^{7}+\frac{929553625}{16384}x^{9}-\frac{456326325}{4096}x^{11}+\frac{1017958725}{8192}x^{13}-\frac{300540195}{4096}x^{15}+\frac{583401555}{32768}x^{17}$
$P_{18}(x)=-\frac{12155}{65536}+\frac{2078505}{65536}x^{2}-\frac{14549535}{16384}x^{4}+\frac{156165009}{16384}x^{6}-\frac{1673196525}{32768}x^{8}+\frac{5019589575}{32768}x^{10}-\frac{4411154475}{16384}x^{12}+\frac{4508102925}{16384}x^{14}-\frac{9917826435}{65536}x^{16}+\frac{2268783825}{65536}x^{18}$
$P_{19}(x)=-\frac{230945}{65536}x+\frac{14549535}{65536}x^{3}-\frac{66927861}{16384}x^{5}+\frac{557732175}{16384}x^{7}-\frac{5019589575}{32768}x^{9}+\frac{13233463425}{32768}x^{11}-\frac{10518906825}{16384}x^{13}+\frac{9917826435}{16384}x^{15}-\frac{20419054425}{65536}x^{17}+\frac{4418157975}{65536}x^{19}$
$P_{20}(x)=\frac{46189}{262144}-\frac{4849845}{131072}x^{2}+\frac{334639305}{262144}x^{4}-\frac{557732175}{32768}x^{6}+\frac{15058768725}{131072}x^{8}-\frac{29113619535}{65536}x^{10}+\frac{136745788725}{131072}x^{12}-\frac{49589132175}{32768}x^{14}+\frac{347123925225}{262144}x^{16}-\frac{83945001525}{131072}x^{18}+\frac{34461632205}{262144}x^{20}$
$P_{21}(x)=\frac{969969}{262144}x-\frac{37182145}{131072}x^{3}+\frac{1673196525}{262144}x^{5}-\frac{2151252675}{32768}x^{7}+\frac{48522699225}{131072}x^{9}-\frac{82047473235}{65536}x^{11}+\frac{347123925225}{131072}x^{13}-\frac{115707975075}{32768}x^{15}+\frac{755505013725}{262144}x^{17}-\frac{172308161025}{131072}x^{19}+\frac{67282234305}{262144}x^{21}$
$P_{22}(x)=-\frac{88179}{524288}+\frac{22309287}{524288}x^{2}-\frac{929553625}{524288}x^{4}+\frac{15058768725}{524288}x^{6}-\frac{62386327575}{262144}x^{8}+\frac{300840735195}{262144}x^{10}-\frac{902522205585}{262144}x^{12}+\frac{1735619626125}{262144}x^{14}-\frac{4281195077775}{524288}x^{16}+\frac{3273855059475}{524288}x^{18}-\frac{1412926920405}{524288}x^{20}+\frac{263012370465}{524288}x^{22}$
$P_{23}(x)=-\frac{2028117}{524288}x+\frac{185910725}{524288}x^{3}-\frac{5019589575}{524288}x^{5}+\frac{62386327575}{524288}x^{7}-\frac{214886239425}{262144}x^{9}+\frac{902522205585}{262144}x^{11}-\frac{2429867476575}{262144}x^{13}+\frac{4281195077775}{262144}x^{15}-\frac{9821565178425}{524288}x^{17}+\frac{7064634602025}{524288}x^{19}-\frac{2893136075115}{524288}x^{21}+\frac{514589420475}{524288}x^{23}$
$P_{24}(x)=\frac{676039}{4194304}-\frac{50702925}{1048576}x^{2}+\frac{5019589575}{2097152}x^{4}-\frac{48522699225}{1048576}x^{6}+\frac{1933976154825}{4194304}x^{8}-\frac{1418249180205}{524288}x^{10}+\frac{10529425731825}{1048576}x^{12}-\frac{12843585233325}{524288}x^{14}+\frac{166966608033225}{4194304}x^{16}-\frac{44742685812825}{1048576}x^{18}+\frac{60755857577415}{2097152}x^{20}-\frac{11835556670925}{1048576}x^{22}+\frac{8061900920775}{4194304}x^{24}$
$P_{25}(x)=\frac{16900975}{4194304}x-\frac{456326325}{1048576}x^{3}+\frac{29113619535}{2097152}x^{5}-\frac{214886239425}{1048576}x^{7}+\frac{7091245901025}{4194304}x^{9}-\frac{4512611027925}{524288}x^{11}+\frac{29968365544425}{1048576}x^{13}-\frac{33393321606645}{524288}x^{15}+\frac{402684172315425}{4194304}x^{17}-\frac{101259762629025}{1048576}x^{19}+\frac{130191123380175}{2097152}x^{21}-\frac{24185702762325}{1048576}x^{23}+\frac{15801325804719}{4194304}x^{25}$
$P_{26}(x)=-\frac{1300075}{8388608}+\frac{456326325}{8388608}x^{2}-\frac{13233463425}{4194304}x^{4}+\frac{300840735195}{4194304}x^{6}-\frac{7091245901025}{8388608}x^{8}+\frac{49638721307175}{8388608}x^{10}-\frac{55655536011075}{2097152}x^{12}+\frac{166966608033225}{2097152}x^{14}-\frac{1369126185872445}{8388608}x^{16}+\frac{1923935489951475}{8388608}x^{18}-\frac{911337863661225}{4194304}x^{20}+\frac{556271163533475}{4194304}x^{22}-\frac{395033145117975}{8388608}x^{24}+\frac{61989816618513}{8388608}x^{26}$
$P_{27}(x)=-\frac{35102025}{8388608}x+\frac{4411154475}{8388608}x^{3}-\frac{82047473235}{4194304}x^{5}+\frac{1418249180205}{4194304}x^{7}-\frac{27577067392875}{8388608}x^{9}+\frac{166966608033225}{8388608}x^{11}-\frac{166966608033225}{2097152}x^{13}+\frac{456375395290815}{2097152}x^{15}-\frac{3463083881912655}{8388608}x^{17}+\frac{4556689318306125}{8388608}x^{19}-\frac{2039660932956075}{4194304}x^{21}+\frac{1185099435353925}{4194304}x^{23}-\frac{805867616040669}{8388608}x^{25}+\frac{121683714103007}{8388608}x^{27}$
$P_{28}(x)=\frac{5014575}{33554432}-\frac{1017958725}{16777216}x^{2}+\frac{136745788725}{33554432}x^{4}-\frac{902522205585}{8388608}x^{6}+\frac{49638721307175}{33554432}x^{8}-\frac{204070298707275}{16777216}x^{10}+\frac{2170565904431925}{33554432}x^{12}-\frac{977947275623175}{4194304}x^{14}+\frac{19624141997505045}{33554432}x^{16}-\frac{17315419409563275}{16777216}x^{18}+\frac{42832879592077575}{33554432}x^{20}-\frac{9085762337713425}{8388608}x^{22}+\frac{20146690401016725}{33554432}x^{24}-\frac{3285460280781189}{16777216}x^{26}+\frac{956086325095055}{33554432}x^{28}$
$P_{29}(x)=\frac{145422675}{33554432}x-\frac{10518906825}{16777216}x^{3}+\frac{902522205585}{33554432}x^{5}-\frac{4512611027925}{8388608}x^{7}+\frac{204070298707275}{33554432}x^{9}-\frac{723521968143975}{16777216}x^{11}+\frac{6845630929362225}{33554432}x^{13}-\frac{2803448856786435}{4194304}x^{15}+\frac{51946258228689825}{33554432}x^{17}-\frac{42832879592077575}{16777216}x^{19}+\frac{99943385714847675}{33554432}x^{21}-\frac{20146690401016725}{8388608}x^{23}+\frac{42710983650155457}{33554432}x^{25}-\frac{6692604275665385}{16777216}x^{27}+\frac{1879204156221315}{33554432}x^{29}$
$P_{30}(x)=-\frac{9694845}{67108864}+\frac{4508102925}{67108864}x^{2}-\frac{347123925225}{67108864}x^{4}+\frac{10529425731825}{67108864}x^{6}-\frac{166966608033225}{67108864}x^{8}+\frac{1591748329916745}{67108864}x^{10}-\frac{9888133564634325}{67108864}x^{12}+\frac{42051732851796525}{67108864}x^{14}-\frac{126155198555389575}{67108864}x^{16}+\frac{271274904083157975}{67108864}x^{18}-\frac{419762220002360235}{67108864}x^{20}+\frac{463373879223384675}{67108864}x^{22}-\frac{355924863751295475}{67108864}x^{24}+\frac{180700315442965395}{67108864}x^{26}-\frac{54496920530418135}{67108864}x^{28}+\frac{7391536347803839}{67108864}x^{30}$
$P_{31}(x)=-\frac{300540195}{67108864}x+\frac{49589132175}{67108864}x^{3}-\frac{2429867476575}{67108864}x^{5}+\frac{55655536011075}{67108864}x^{7}-\frac{723521968143975}{67108864}x^{9}+\frac{5932880138780595}{67108864}x^{11}-\frac{32706903329175075}{67108864}x^{13}+\frac{126155198555389575}{67108864}x^{15}-\frac{348782019535488825}{67108864}x^{17}+\frac{699603700003933725}{67108864}x^{19}-\frac{1019422534291446285}{67108864}x^{21}+\frac{1067774591253886425}{67108864}x^{23}-\frac{783034700252850045}{67108864}x^{25}+\frac{381478443712926945}{67108864}x^{27}-\frac{110873045217057585}{67108864}x^{29}+\frac{14544636039226909}{67108864}x^{31}$