去年1年間に殺人事件は1414件起きたという（警察庁の統計より）。
殺人の起きなかった日は1年間に何日あっただろうか。
数学的考察
事件は全て独立した事象と考える。
場合の数は、3661414である。
数が大きくて大変なので、
まずは4日間に5件あったということで考えよう。
4日間に5件の場合
殺人が起きなかった日が3日、
すなわち殺人は1日に集中した場合の数は、
その日を選べばいいから、4。
殺人が起きなかった日が2日の場合の数は、
起きた日を選ぶのが4C2で、
2日の中で5件が起きる場合の数は、25。
だが、どちらかに偏っている場合を重複して数えているので、
場合の数は、25 - 2 = 30。
だから、4C2 * 30 = 180。
殺人が起きなかった日が1日の場合の数は、
起きた日を選ぶのが4C3で、
3日の中で5件が起きる場合の数は、35。
だが、3日のうち事件が起きていない日がある場合を重複して数えているので、
場合の数は、35 - 3C2 * 30 - 3C1 * 1 = 150。
だから、4C3 * 150 = 600。
などとなる。
一般の場合
m日間にn件とする。
k日起きなかった場合の数をak、
m日から(m-k)日を選んでからの場合の数をbkとする。
bm-1 = 1
am-1 = m
bk = (m-k)n - m-kCm-k-1bk+1 - ... - m-kC1bm-1
ak = mCm-kbk
この漸化式から帰納的に全てのakが求められ、
期待値が求められる。
実際の計算
非常に大きな数なので、
doubleでもオーバーフローしてしまう。
ここはこの間作った無限桁の整数を使う。
1時間近くかかった。
（追記 12/7 ライブラリを少し変えたら1分半くらいでできた）
殺人が行われない日がk日である確率を、
pk
とすると、
p44 = 0.000000000000000000000005
p43 = 0.000000000000000000000059
p42 = 0.000000000000000000000577
p41 = 0.000000000000000000005420
p40 = 0.000000000000000000048794
p39 = 0.000000000000000000421174
p38 = 0.000000000000000003484347
p37 = 0.000000000000000027611891
p36 = 0.000000000000000209470148
p35 = 0.000000000000001520261637
p34 = 0.000000000000010548373559
p33 = 0.000000000000069920517138
p32 = 0.000000000000442420481719
p31 = 0.000000000002670012686538
p30 = 0.000000000015354982573209
p29 = 0.000000000084066987828930
p28 = 0.000000000437716669564018
p27 = 0.000000002165056415940243
p26 = 0.000000010160921179785347
p25 = 0.000000045187856403615065
p24 = 0.000000190162633637770360
p23 = 0.000000756102395383116546
p22 = 0.000002835735609565558709
p21 = 0.000010013614446577278156
p20 = 0.000033226879385349113758
p19 = 0.000103373067059626169580
p18 = 0.000300807423582079672181
p17 = 0.000816505789640754719240
p16 = 0.002061141345925347504934
p15 = 0.004822354777618081918036
p14 = 0.010417027624850254857958
p13 = 0.020685078653908900497893
p12 = 0.037567081273897683789180
p11 = 0.062036408926738494151803
p10 = 0.092507615133669132549005
p9 = 0.123544883941175465561196
p8 = 0.146302711830948924976688
p7 = 0.151737782793838824783607
p6 = 0.135686808321817993437489
p5 = 0.102484265178779283306344
p4 = 0.063569049576307254396401
p3 = 0.031088656799101515609934
p2 = 0.011238917424459719163403
p1 = 0.002669855944656561698908
p0 = 0.000312593623386285728850
期待値
7.644281634107837822465686日
