殺人事件（2）近似

去年1年間に殺人事件は1414件起きたという（警察庁の統計より）。
最も多くの殺人事件が起きた日は何件だっただろうか。

近似

m日でn件として、
ある日にk件起きる確率は、

E(x=k) = _nC_k * (1 / m)^k * (1 - 1 / m)^n-k
      ≒ n^k / k! * (1 / m)^k * e^-n/m
      = (n / m)^k / k! * e^-n/m

要はポアソン分布。
ある日にk件以下起きる確率は、

E(x≦k) = (1 + (n / m) + ... + (n / m)^k / k!)e^-n/m

最大の日でk件の確率は、

p_k = E(x≦k)^m - E(x≦k-1)^m

本当はこの辺も近似式を示したかったが、
どうもうまくいかない。

計算

これをまじめに計算すると、

p₂₀ = 0.000002
p₁₉ = 0.000009
p₁₈ = 0.000044
p₁₇ = 0.000206
p₁₆ = 0.000904
p₁₅ = 0.003735
p₁₄ = 0.014371
p₁₃ = 0.050361
p₁₂ = 0.151224
p₁₁ = 0.330053
p₁₀ = 0.355542
p₉ = 0.091935
p₈ = 0.001613

期待値
10.7719

曲面

これだけでは面白くないので、
m日n件での期待値をいくつか計算してみた。
期待値を、e_m,n とする。

e_100,100 = 4.22354
e_200,200 = 4.62747
e_300,300 = 4.85447
e_400,400 = 5.01705
e_500,500 = 5.14302
e_100,200 = 6.30149
e_200,400 = 6.8143
e_300,600 = 7.10237
e_400,800 = 7.30371
e_500,1000 = 7.45809
e_100,300 = 8.11933
e_200,600 = 8.71183
e_300,900 = 9.04517
e_400,1200 = 9.27624
e_500,1500 = 9.45303
e_100,400 = 9.80436
e_200,800 = 10.4636
e_300,1200 = 10.834
e_400,1600 = 11.0908
e_500,2000 = 11.2867

近似式を作ろうと思ったが、
複雑になってしまった。