コインゲーム（9）

数学

\sigma^2 = <X^2> - <X>^2
= <(N+mk)^2> - <X>^2
= m<mk^2+2Nk> - m\frac{p(2-mp)}{(1-r)^2}N^2
= m^2<k^2-k> + m(m + 2N)<k> - m\frac{p(2-mp)}{(1-r)^2}N^2
= m^2q^2{f''(q)} + m(m + 2N)qf'(q) - m\frac{p(2-mp)}{(1-r)^2}N^2

ここで、

xF^m - F + 1 = 0
F^m + mx{F'}F^{m-1} - F' = 0
2m{F'}F^{m-1} + mx((m-1)F'^2F^{m-2} + {F''}F^{m-1}) - {F''} = 0
{F''}(q) = \frac{2m-m(m+1)p}{(1-p)^{2m-1}(1-r)^3}

より、

q^2{f''}(q) = \frac{(2m-1)p^2-m^2p^3}{(1-r)^3}N + \frac{p^2}{(1-r)^2}N^2

これから、

\sigma^2 = \frac{m^2p(1-p)}{(1-r)^3}N

m=1,2も同じこれを使える。


さあ、いよいよ佳境に。