トランプのシャッフル（2）

トランプを正確にシャッフルすると8回で元に戻る、
この仕組みをできるだけ分析してみよう。

カードの並びを順に、0〜51とする。
一度シャッフルすると、
0→0、1→2、2→4、26→1、27→3
のようになる。
この規則性を式で表すと、

この記号で、常に a_n+8 = a_n となることを示したい。

まず、3の倍数ならいつも3の倍数になることが分かる。
そうでないと、剰余が1→2→1→2となる。
また、17の倍数もいつも17の倍数になる。
17の剰余が1なら、
1→2→4→8→16(-1)→15(-2)→13(-4)→9(-8)→1
というように8回で元に戻る。
かっこで書いたことでわかるように、
2ⁿ+1の法で考えて1なら2nで戻ってくる。

一般の話はおいといて、
17の倍数でないとき、大きさ8のループが一つ上であったから、
残りの8つもループになっている。
3→6→12→7→14→11→5→10→3
（各要素が上の3倍になっている）

51を法としたときに戻って、
3の剰余で区別できることから、大きさ8のループが6つある。
例えば、17の剰余が1、3の剰余が1から始まれば、
1→2→4→8→16→32→13→26→1
となる。

残りの4つは、
0→0
17→34→17
52→52

となって、すべて大きさが8の約数のループとなるから、
常に8回のシャッフルで元に戻る。