コインゲーム（10） - inamori’s diary

これまでは、当たりの種類が1つのゲームを考えてきた。
しかし、実際のスロットマシンなどは、
当たりの種類が10種類、20種類とある。

3種類で考えると、
当たる確率と返ってくるコインの枚数が、

20%,2枚
6%,5枚
1%,20枚

で、リターンが90%となる。

当たりの種類をnとし、
それぞれの当たりの確率を、

p₁, ... , p_n

返ってくる枚数を、

m₁, ... , m_n

また、

p = p₁ + ... + p_n
r = m₁p₁ + ... + m_np_n

とする。
そうすると、今までとほぼ同じ、
違うのはqとFの満たす方程式くらいである。
Fはn元の多項式で、（超）平面
y = N + (m₁ - 1)x₁ + ... + (m_n - 1)x_n
を超えない(k₁, ... , k_n, N + (m₁ - 1)k₁, ... , (m_n - 1)k_n))への経路の数が、
x₁^k₁...x_n^k_nの係数となる。
（以下、めんどいのでEinsteinの略記法を使う）

$\vec q = (q_1, ... , q_n) = (p_1(1 - p)^{m_1 - 1}, ... , p_n(1 - p)^{m_n - 1})$
$x_iF^{m_i} - F + 1 = 0$

まず、コインがなくなるまでのゲーム回数の平均は、

$<X> = m_iq_i\partial_i f(q) + N$

さきほどの方程式より、

$F^{m_i} + m_jx_j\partial_i FF^{m_j-1} - \partial_i F = 0$
$\partial_i F(q) = \frac{1}{(1-p)^{m_i}(1-r)$
$\partial_i f(q) = \frac{N}{(1-p)^{m_i-1}(1-r)$
$<X> = \frac{N}{1-r}$

といつもと同じになった。

分散は、

$\sigma^2 = <X^2> - <X>^2$
$X^2 = (N + m_ik_i)(N + m_jk_j)$
$= N^2 + 2Nm_ik_i + m_im_jk_ik_j$
$m_im_j<k_ik_j> = m_im_jx_j\partial_jx_i\partial_if|_{x=q}$
$= m_im_iq_i\partial_if(q) + m_im_jq_iq_j\partial_i\partial_jf(q)$

ここで、

$\partial_i\partial_jf = N(1-p)^N(\partial_i\partial_jFF^{N-1}$
$+ (N-1)\partial_iF\partial_jFF^{N-2})$
$= N(1-p)\partial_i\partial_jF(q) + \frac{N(N-1)}{(1-p)^{m_i+m_j-2}(1-r)^2}$

また、

$m_i\partial_jFF^{m_i-1} + m_j\partial_iFF^{m_j-1}$
$+ m_l(m_l-1)x_l\partial_iF\partial_jFF^{m_l-2}$
$+ m_lx_l\partial_i\partial_jFF^{m_l-1} - \partial_i\partial_jF = 0$
$\frac{m_i+m_j}{(1-p)^{m_i+m_j-1}(1-r)} + \frac{m_l(m_l-1)p_l}{(1-p)^{m_i+m_j-1}(1-r)^2}$
$+(r-1)\partial_i\partial_jF(q) = 0$
$\partial_i\partial_jF(q) = \frac{(m_i+m_j)(1-r) + m_l(m_l-1)p_l}{(1-p)^{m_i+m_j-1}(1-r)^3}$

より、

$\sigma^2 = -\frac{r^2}{(1-r)^2}N^2 + \frac{m_im_ip_i}{1-r}N$
$+m_im_jNp_ip_j\frac{(m_i+m_j)(1-r) + m_l(m_l-1)p_l}{(1-r)^3}$
$+\frac{r^2}{(1-r)^2}N(N-1)$
$= \frac{m_im_ip_i - r^2}{(1-r)^3}N$