コインゲーム（12）

前回、

xF^m - F + 1 = 0

は一意に解が求まるが、
m次方程式なので、m個解がありそうだが、
という疑問が出た。

解が簡単に求まる m=2 の場合を考えてみよう。

というわけで、
F = 1 - ... or 1 / x - 1 + ...
となって、2つの解が出てくる。
ローラン展開？

負の次数の項があると考える。
最低次数を k とすると、

F(x) = a_kx^k + ...
(a_k^mx^mk+1 + ...) - (a_kx^k + ...) + 1 = 0

だから、

mk+1 k 0

の3つのうち、
どれか2つが等しくて、残りの1つより小さくなければならない。
k と 0 が等しいなら従来の解、
mk+1 と 0 が等しいと、k の方が小さくなって不可、
mk+1 と k が等しいとすると、

次数がこうだと、すでに m-1重で多義的のような気がするが、
係数を求めると、

a_k^m - a_k = 0

だから、a_k = 0のときも含めて、m個の解がある。

m=3として、a_-1/2 = 1を選んで、ここから次の項などを求めたが、
めんどいので説明はパス。
そのとき次のように変換することを思いついた。

t = x^1/(m-1), G(t) = tF(t^m-1)

これを元の式に代入して整理すると、

G^m - G + t = 0

どこかで見たことのある方程式のような気が。
それはともかく、
G(t) = a₀ + ...
とすると、

a₀^m - a₀ = 0

となって、a₀がm通り選べて、
漸化式もここには書き下さないがちゃんと出てくる。
だから、少なくとも x = 0の周りで解がm個存在する。

脱線したが、次はいよいよ確率を具体的に求める。