六面体の頂点をたどる（5）

前に出てきた漸化式を解く問題は、単なる固有値問題である。

例えば、元の四面体の問題は、

$p_{3,t+1} = \frac{1}{3}p_{3,t} + p_{1,t}$
$p_{7,t+1} = \frac{2}{3}p_{7,t} + \frac{2}{3}p_{5,t}$
$p_{15,t+1} = p_{15,t} + \frac{1}{3}p_{7,t}$

だから、

$\begin{pmatrix} \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ \frac{2}{3} & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & 1 \end{pmatrix}$

の固有値を求めればよい。

$\begin{vmatrix} \frac{1}{3} - \lambda & 0 & 0 \\ \frac{2}{3} & \frac{2}{3} - \lambda & 0 \\ 0 & \frac{1}{3} & 1 - \lambda \end{vmatrix} = (\frac{1}{3} - \lambda)(\frac{2}{3} - \lambda)(1 - \lambda) = 0$

を解いて、

$\lambda = \frac{1}{3}, \frac{2}{3}, 1$

それぞれに横ベクトルをかけて0ベクトルになる固有ベクトルは、

( 1 0 0 ), ( 2 1 0 ), ( 1 1 1 )

だから、

$r_{1,t} = p_{3,t}$
$r_{2,t} = 2p_{3,t} + p_{7,t}$
$r_{3,t} = p_{3,t} + p_{7,t} + p_{15,t}$

について考えればよい。

$r_{1,t+1} = \frac{1}{3}r_{1,t} + p_{1,t}$
$r_{2,t+1} = \frac{2}{3}r_{2,t} + 2p_{1,t}$
$r_{3,t+1} = r_{3,t} + p{1,t}$
$r_{1,0} = r_{2,0} = r_{3,0} = 0$
$p_{1,0} = 1$
$p_{1,t} = 0 (t \ge 1)$

を解いて、

$r_{1,t} = (\frac{1}{3})^{t-1} (t \ge 1)$
$r_{2,t} = 2(\frac{2}{3})^{t-1} (t \ge 1)$
$r_{3,t} = 1 (t \ge 1)$

これより、

$p_{3,t} = (\frac{1}{3})^{t-1} (t \ge 1)$
$p_{7,t} = 2(\frac{2}{3})^{t-1} - 2(\frac{1}{3})^{t-1} (t \ge 1)$
$p_{15,t} = 1 - 2(\frac{2}{3})^{t-1} + (\frac{1}{3})^{t-1} (t \ge 1)$

こんなふうにコンピュータに解かせればよい。