すごろく（7） - inamori’s diary

サイコロ1個のときと同じように、p_nの収束する値を求める。
収束性は、同様に考えて問題ない。

$p_n = \frac{1}{36}(p_{n-12} + \cdots + 6p_{n-7} + \cdots + p_{n-2}) \quad (12 \le n)$

より、

$a_n = f_0p_n + f_1p_{n-1} + \cdots + f_{11}p_{n-11}$
$(f_0, \cdots , f_{11}) = (36, 35, 33, 30, 26, 21, 15, 10, 6, 3, 1)$

とおくと、

$a_n = a_{n-1} = \cdots = a_{13}$

だから、a₁₃を計算すればよい。
前回計算したp₂ 〜 p₁₃を用いて、
a₁₃を実際にプログラムを用いて計算すると、
a₁₃ = 36
となった。
よって、252p = 36から、p = 1 / 7。

しかし、よく考えると、
p_n = 0(n < 0)としてみると、

$a_n = a_{n-1} = \cdots = a_0$

が成り立つから、
a₀ = 36p₀ = 36
となって、わざわざプログラムを書く必要もなかった。

もっと言うと、
1回に進むマスの数は平均7回だから、
マスに止まる確率は1/7に収束してもおかしくなさそうである。