複素数（3） - inamori’s diary

三角関数

三角関数は指数関数とは姉妹のようなものである。

$e^{iz} = \cos{z} + i\sin{z}$
$e^{-iz} = \cos{z} - i\sin{z}$

これらから、

$\cos{z} = \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}$

z = x + iy を代入して、

$\cos(x + iy) = \frac{e^{ix + y} + e^{-ix - y}}{2}$
$= \qquad \frac{e^y(\cos{x} + i\sin{x}) + e^{-y}(\cos{x} - i\sin{x})}{2}$
$= \qquad \frac{e^y + e^{-y}}{2}\cos{x} + i\frac{e^y - e^{-y}}{2}\sin{x}$

sin, tanは、

$\sin(x + iy) = \frac{e^y + e^{-y}}{2}\sin{x} - i\frac{e^y - e^{-y}}{2}\cos{x}$
$\tan(x + iy) = \frac{(e^{2y} + 1)\tan{x} + i(e^{2y} - 1)}{e^{2y} + 1 - i(e^{2y} - 1)\tan{x}}$

これらより、



import std.cstream;

import std.math;
void main(char[][] args) {

    cdouble c = 1 + 0.1i;

    dout.writefln(cos(c));  // 0.543006+-0.0842874i

    dout.writefln(sin(c));  // 0.845682+0.0541203i

    dout.writefln(tan(c));  // 1.50566+0.333382i

}
cdouble cos(cdouble z) {

    double  x = z.re;

    double  y = z.im;

    double  e = std.math.exp(y);

    double  e_1 = 1 / e;

    return (e + e_1) / 2 * std.math.cos(x)

                - 1i * (e - e_1) / 2 * std.math.sin(x);

}
cdouble sin(cdouble z) {

    double  x = z.re;

    double  y = z.im;

    double  e = std.math.exp(y);

    double  e_1 = 1 / e;

    return (e + e_1) / 2 * std.math.sin(x)

                + 1i * (e - e_1) / 2 * std.math.cos(x);

}
cdouble tan(cdouble z) {

    double  x = z.re;

    double  y = z.im;

    double  e2 = std.math.exp(y * 2);

    double  t = std.math.tan(x);

    return (1i * (e2 - 1) + (e2 + 1) * t)

                        / (e2 + 1 - 1i * (e2 - 1) * t);

}