複素数（4） - inamori’s diary

対数関数

指数関数の逆関数だから、

$e^{X+iY} = e^X(\cos{Y} + i\sin{Y}) = x + iy$

とおいて、

$e^X = \sqrt{x^2+y^2}$
$Y = \mbox{atan2}(y, x)$

atan2は便宜的に使った。
だから、

$\log{(x + iy)} = \log{\sqrt{x^2+y^2}} + i\mbox{atan2}(y, x)$

ところが、atan2は周期2πの多価関数だから、logも同様となる。
例えば、 $\log{i}$ を考えると、

$e^{\frac{\pi}{2}i} = \cos{\frac{\pi}{2}} + i\sin{\frac{\pi}{2}} = i$

となるが、同時に、

$e^{\frac{5\pi}{2}i} = \cos{\frac{5\pi}{2}} + i\sin{\frac{5\pi}{2}} = i$

となるため、 $\log{i}$ は多価関数である。

プログラムとして、
返り値が複数あるのでは成り立たないため、
代表的な値をとる。
これを主値と呼ぶ。
C++ではどうなっているのかというと、



#include 

#include 

#include 
using namespace std;
typedef complex cplx;
void main(void) {

    cout << log(cplx(-1, 0)) << endl;   // (0,3.14159)

    cout << log(cplx(-1, -1)) << endl;  // (0.346574,-2.35619)

}

虚部θは、-π＜θ≦πとなっているようである。
すなわち、atan2がそのまま使える。



import std.cstream;

import std.math;
void main(char[][] args) {

    dout.writefln(log(-1+0i));  // 0+3.14159i

    dout.writefln(log(-1-1i));  // 0.346574+-2.35619i

}
cdouble log(cdouble z) {

    double  x = z.re;

    double  y = z.im;

    return std.math.log(x * x + y * y) / 2 + 1i * atan2(y, x);

}