zzの逆関数（1） - inamori’s diary

前に読んだこの本の巻末で、
z^zの逆関数について言及されていた。

考察はされていなかったが。

まず、正の実数でz^zを考えてみよう。
グラフは次のようになる。

$(z^z)\prime = z^z(\log{z} + 1)$

だから、極値は z = 1 / e で取って、e^-1/e となる。
すなわち、z^zの逆関数は、
実数で e^-1/e 以上なら、空集合でないことがわかる。

では、それ未満ならどうなのだろう。
複素数では、i とか。
1は1¹以外ないのだろうか。

そういったことを考えていきたい。