すごろく（4） - inamori’s diary

前回、p_nが収束する値を求めたが、
もちろん収束することを証明しなければならない。

わかりやすくするために、
a_n = p_n - 2 / 7
とおいて、a_nが0に収束することを示す。

実際に値をプロットしてみる。

a_nの絶対値をプロットしている。
ただし、赤は正、青は負である。
指数関数的に値が減少しており、収束するのは間違いなさそうである。
ただし、数学的ではない。

$6a_{n-1} + \cdots + a_{n-6} = 0 \quad (n > 6)$

より、a_n-6 〜 a_n-1がすべて同じ符号ということはなく、
どれかが0以上でどれかが0以下ということになる。
このうち、絶対値が最大になる添え字をmとすると、

$a_n = \frac{1}{6}(a_{n-1} + \cdots + a_{n-6}) \quad (n > 6)$

より、a_n-6 〜 a_n-1のうちa_mと符号が同じなのは5つ以下だから、

$\left| a_n \right| \le \frac{5}{6} \left| a_m \right| \quad (n > 6)$

ここで、

$n-6 \le m \le n - 1$

これを繰り返し適用すると、

$\left| a_n \right| \le \left( \frac{5}{6} \right) ^{\left[\frac{n-1}{6}\right]} \left| a_m \right|$

ここで、mはある自然数。
これより、

$\left| a_n \right| \le \left( \frac{5}{6} \right) ^{\left[\frac{n-1}{6}\right]}$

となって、a_nは0に収束する。