ベルヌイ数（2）

数学 



B0 = 1

B1 = 1/2

B2 = 1/6

B4 = -1/30

B6 = 1/42

B8 = -1/30

B10 = 5/66

よく見ると、最初以外は、（奇数）/(（奇数）*2)、となっている。
漸化式は、

B_n = 1 - \frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n-1}{_{n+1}C_{k}B_k}

Σの項が同じ形なら、ベルヌイ数もそうなる（nが偶数なら）。
数学的帰納法で、nが2以上の偶数でそうなることを示す。
Σを展開して書くと、

B_n = 1 + (n+1)B_1 + _{n+1}C_2B_2 + ... + _{n+1}C_{n-1}B_{n-1}

最初の1は無視できて、他の項は、a/(2b)（bは奇数）の形をしている。
これを加算すると、

a1/(2b1) + a2/(2b2) = (a1b2 + a2b1)/(2b1b2)

分子の偶奇は、

a1b2 ≡ a1(mod 2)
a2b1 ≡ a2(mod 2)
a1b2 + a2b1≡ a1 + a2(mod 2)

a1 + a2の偶奇と等しい。
すなわち、各項の分子を全て加算した偶奇性を調べればよい。
Bkは分子は奇数だから、
それにかかっている項を全て加算して奇数となることを示せばよい。

n+1 + _{n+1}C_2 + _{n+1}C_4 + ... + _{n+1}C_{n-1}
= n+1+(2^n-2) = 2^n + n - 1

nは偶数だから、奇数となる。
よって、Bnは最初の形になる。